エネルギー収支とアブラハム・ローレンツの力

外力 $\boldsymbol{F}_{\mathrm{ext}}$ のもとで $m\boldsymbol{a}=\boldsymbol{F}_{\mathrm{ext}}+\boldsymbol{F}_{\mathrm{rad}}$ と運動し、放射パワー $P=m\tau a^2$（系 5.4）の分のエネルギーを失うとする。時刻 $t_1,t_2$ で加速度が $\boldsymbol{a}(t_1)\cdot\boldsymbol{v}(t_1)=\boldsymbol{a}(t_2)\cdot\boldsymbol{v}(t_2)$ を満たす（たとえば周期運動の 1 周期、あるいは両端で $\boldsymbol{a}=\boldsymbol{0}$）ならば、

は、反作用力がする仕事 $\int_{t_1}^{t_2}\boldsymbol{F}_{\mathrm{rad}}\cdot\boldsymbol{v}\,dt$ を放射エネルギーの損失 $-\int_{t_1}^{t_2}P\,dt$ に等しくする。