結び目、絡み目、Seifert 膜

定義 4.1（「h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口」§4）

$\mathbb{R}^3$ （または $S^3=\mathbb{R}^3\cup\{\infty\}$ ）の、円周に微分同相な部分多様体を結び目、コンパクトな境界のない 1 次元部分多様体（有限個の結び目の非交和）を絡み目という。向きを決めたものを向き付けられた絡み目という。2 つの絡み目は、全空間のアンビエントイソトピーで移り合うとき同値であるという。平面の円周に同値な結び目を自明な結び目という。
向き付けられた絡み目 $L$ の Seifert 膜とは、コンパクトな向き付けられた 2 次元の境界付き部分多様体 $F$ で、 $\partial F=L$ （境界の向きを込めて）であり、閉曲面の成分をもたないものをいう。結び目 $K$ の連結な Seifert 膜の種数（境界を円板でふさいだ閉曲面 $\Sigma_g$ の $g$ ）の最小値を $K$ の種数という。
連結な Seifert 膜 $F$ の $H_1(F)\cong\mathbb{Z}^{2g}$ の基底を閉曲線 $a_1,\dots,a_{2g}$ で表し、 $a_j^+$ を $a_j$ を $F$ の正の法方向に少し押し出した曲線とするとき、絡み数の行列 $V_{ij}=\operatorname{lk}(a_i,a_j^+)$ を Seifert 行列という（この記事では定義だけを述べます。 $\det(V-tV^{\mathsf T})$ が Alexander 多項式です）。

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。