対称形式の符号数についての線形代数

$Q$ を有限次元実ベクトル空間 $V$ 上の非退化な対称双線形形式とする。$Q$ を対角化する基底での正の対角成分の個数 $p$ と負の個数 $q$ は基底によらず（$p$ は $Q$ が正定値になる部分空間の最大次元）、符号数を $\sigma(Q)=p-q$ と定める。

1. $Q(L,L)=0$ となる部分空間 $L$ で $\dim L=\tfrac12\dim V$ のものがあれば、$\sigma(Q)=0$。
2. $V=V_1\oplus V_2$ が $Q$ について直交するなら、$Q$ は各 $V_i$ の上で非退化で、$\sigma(Q)=\sigma(Q|_{V_1})+\sigma(Q|_{V_2})$。
3. $Q_1$、$Q_2$ が非退化な対称形式なら、$V_1\otimes V_2$ 上の $Q_1\otimes Q_2$ について $\sigma(Q_1\otimes Q_2)=\sigma(Q_1)\sigma(Q_2)$。