Thom 空間、MO(k) と MSO(k)

定義 5.1（「同境と Pontryagin–Thom 構成」§5）

コンパクトな底空間 $B$ の上のベクトル束 $E\to B$ に対し、全空間 $E$ の 1 点コンパクト化 $\operatorname{Th}(E)=E\cup\{\infty\}$ を $E$ の Thom 空間という。 $B$ は零切断として $\operatorname{Th}(E)$ に含まれる。
$G_k(\mathbb{R}^q)$ を Grassmann 多様体（定義 5.6［微分可能多様体の定義］）、 $\gamma_k^q=\{(V,w)\in G_k(\mathbb{R}^q)\times\mathbb{R}^q:w\in V\}$ をその上の普遍束（階数 $k$ のベクトル束）とし、 $MO(k)_q=\operatorname{Th}(\gamma_k^q)$ とおく。向き付けられた $k$ 次元部分空間の全体 $\tilde G_k(\mathbb{R}^q)$ （ $G_k(\mathbb{R}^q)$ の 2 重被覆）の上の同様の束 $\tilde\gamma_k^q$ について $MSO(k)_q=\operatorname{Th}(\tilde\gamma_k^q)$ とおく。 $q\to\infty$ の合併を $MO(k)$ 、 $MSO(k)$ と書く。
$\pi_n^s=\varinjlim_k\pi_{n+k}(S^k)$ （懸垂による帰納極限）を球面の第 $n$ 安定ホモトピー群という。

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。