Pontryagin 多様体

$f\colon M\to S^k$ を滑らかな写像、$y\in S^k$ を $f$ の正則値、$b=(b^1,\dots,b^k)$ を $T_yS^k$ の正の向きの基底とする。$N=f^{-1}(y)$ は余次元 $k$ の閉部分多様体で（定理 4.3［部分多様体と正則値定理］）、各 $x\in N$ で $df_x$ は核が $T_xN$ の全射なので、同型 $\nu_x\to T_yS^k$ を誘導する。この同型による $b^i$ の逆像を $v^i(x)$ とすると $f^*b:=(v^1,\dots,v^k)$ は法枠である。枠付き部分多様体 $(f^{-1}(y),f^*b)$ を、$f$ の $(y,b)$ に関する Pontryagin 多様体という。