同境な閉多様体、同境群

閉 $n$ 次元多様体 $M_0$、$M_1$ が同境であるとは、コンパクトな $(n+1)$ 次元の境界付き多様体 $W$ で $\partial W$ が $M_0\sqcup M_1$ に微分同相なものが存在することをいう。$M_0$、$M_1$ が向き付けられているとき、向き付けられたコンパクトな $W$ で、境界の向き（定義 4.5［ストークスの定理］）について $\partial W\cong(-M_0)\sqcup M_1$（$-M_0$ は向きを逆にした $M_0$）となるものが存在すれば、向きを込めて同境であるという。閉 $n$ 次元多様体の同境類の集合を $\mathfrak{N}_n$（非有向同境群）、向き付けられた閉 $n$ 次元多様体の、向きを込めた同境類の集合を $\Omega_n$（有向同境群）と書く。