Pontryagin 数と Stiefel–Whitney 数

定義 6.7（「同境と Pontryagin–Thom 構成」§6）

$M$ を向き付けられた閉 $4k$ 次元多様体とし、 $i_1+\dots+i_r=k$ とする。Pontryagin 類（定義 3.11［指数定理］）の積の積分 $p_{i_1}\cdots p_{i_r}[M]=\int_Mp_{i_1}(TM)\wedge\dots\wedge p_{i_r}(TM)$ を $M$ の Pontryagin 数という。
ベクトル束 $E\to B$ の Stiefel–Whitney 類 $w_i(E)\in H^i(B;\mathbb{Z}/2)$ は、自然性・Whitney 和の積公式・ $\mathbb{R}P^1$ 上の Möbius 束での正規化で特徴づけられる特性類である（存在と一意性は Milnor–Stasheff『Characteristic Classes』§4、§8。この記事では構成しない）。閉 $n$ 次元多様体 $M$ と $i_1+\dots+i_r=n$ に対し、 $w_{i_1}(TM)\cdots w_{i_r}(TM)$ を $\mathbb{Z}/2$ 係数の基本類で評価した値を Stiefel–Whitney 数という。 $w_n[M]$ は $\chi(M)\bmod2$ に等しい。

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。