捩れと計量との両立

アフィン接続 $\nabla$ の捩れを $T(X,Y)=\nabla_XY-\nabla_YX-[X,Y]$ と定める（補題 2.1 により $(1,2)$ テンソル場）。$T=0$ のとき $\nabla$ は捩れがない（対称である）という。座標では $T=0$ は $\Gamma^k_{ij}=\Gamma^k_{ji}$ と同値である。

Riemann 多様体 $(M,g)$ 上の接続 $\nabla$ が計量と両立するとは、すべての $X,Y,Z\in\mathfrak{X}(M)$ に対して

が成り立つことをいう。