Gromov–Hausdorff 距離の基本性質

$X,Y,W$ をコンパクト距離空間とする。

1. $d_{GH}(X,Y)=d_{GH}(Y,X)$ で、$\tfrac12|\operatorname{diam}X-\operatorname{diam}Y|\le d_{GH}(X,Y)\le\tfrac12\max(\operatorname{diam}X,\operatorname{diam}Y)$。
2. （三角不等式）$d_{GH}(X,W)\le d_{GH}(X,Y)+d_{GH}(Y,W)$。
3. 全射 $f:X\to Y$ がすべての $x,x'$ で $|d_Y(fx,fx')-d_X(x,x')|\le\varepsilon$ を満たすなら、$d_{GH}(X,Y)\le\varepsilon/2$。とくに $X$ と $Y$ が等長なら $d_{GH}(X,Y)=0$。