接続形式と曲率形式

$\nabla_XE_j=\sum_i\omega^i{}_j(X)E_i$ で定まる 1 形式 $\omega^i{}_j$ を接続形式、$R(X,Y)E_j=\sum_i\Omega^i{}_j(X,Y)E_i$ で定まる 2 形式 $\Omega^i{}_j$ を曲率形式という。行列値の形式 $\omega=(\omega^i{}_j)$、$\Omega=(\Omega^i{}_j)$、ベクトル値の形式 $\theta=(\theta^i)$ にまとめて書く。