正則関数の芽の環と Weierstrass 多項式

$0\in\mathbb{C}^n$ の開近傍 $U$ とその上の正則関数 $f$ の組 $(U,f)$ の全体に、「$0$ のある近傍の上で一致する」という同値関係を入れた商集合を $\mathcal{O}_n$ と書き、その元を正則関数の芽という。$\mathcal{O}_n$ は和と積について可換環である。複素多様体 $X$ の点 $x$ についても同様に芽の環 $\mathcal{O}_{X,x}$ を定める。$x$ を原点に写す正則チャートにより $\mathcal{O}_{X,x}\cong\mathcal{O}_n$（$n=\dim_{\mathbb{C}}X$）である。

$z'=(z_1,\dots,z_{n-1})$ と書く。$z_n$ によらない関数の芽として $\mathcal{O}_{n-1}\subseteq\mathcal{O}_n$ と見なし、$\mathcal{O}_{n-1}$ 係数の $z_n$ の多項式の全体を $\mathcal{O}_{n-1}[z_n]\subseteq\mathcal{O}_n$ と書く。

の形の元を $d$ 次の Weierstrass 多項式という（$d=0$ のときは $W=1$）。