大円弧の寄与が消える条件

$R_0 > 0$ とし、$\Gamma_R$ を上半平面の半円弧 $z = Re^{i\theta}$（$0 \le \theta \le \pi$）とする。$f$ は $\{z : |z| \ge R_0,\ \operatorname{Im}z \ge 0\}$ で連続とし、$M(R) := \max_{0 \le \theta \le \pi}|f(Re^{i\theta})|$ とおく。

(i) $\lim_{R\to\infty} R\,M(R) = 0$ ならば $\displaystyle\lim_{R\to\infty}\int_{\Gamma_R}f(z)\,dz = 0$。

(ii)（ジョルダンの補題） $\lambda > 0$ とする。$R > R_0$ のとき

が成り立つ。特に $\lim_{R\to\infty}M(R) = 0$ ならば $\displaystyle\lim_{R\to\infty}\int_{\Gamma_R}f(z)e^{i\lambda z}dz = 0$。