円板・開集合・閉集合

$a \in \mathbb{C}$、$r > 0$ に対し

を $a$ を中心とする半径 $r$ の開円板という。集合 $S \subseteq \mathbb{C}$ について:

• $a \in S$ が $S$ の内点であるとは、ある $r>0$ が存在して $D(a,r) \subseteq S$ となること。
• $S$ が開集合であるとは、$S$ のすべての点が $S$ の内点であること。
• $S$ が閉集合であるとは、補集合 $\mathbb{C}\setminus S$ が開集合であること。
• $S$ が有界であるとは、ある $M>0$ が存在して、すべての $z \in S$ に対し $|z| \le M$ となること。
• $a \in \mathbb{C}$ が $S$ の境界点であるとは、任意の $r>0$ に対し $D(a,r)$ が $S$ の点と $\mathbb{C}\setminus S$ の点をともに含むこと。境界点全体を $\partial S$ と書く。