三角圏

シフトをもつ加法圏 $\mathcal{D}$ と、完全三角形（distinguished triangle）と呼ぶ三角形の類が与えられ、次の公理を満たすとき、$\mathcal{D}$ を三角圏という。

• TR1. (a) 完全三角形と同型な三角形は完全である。(b) 各対象 $X$ について $X \xrightarrow{1} X \to 0 \to X[1]$ は完全である。(c) 各射 $u\colon X \to Y$ について、$u$ を最初の射とする完全三角形 $X \xrightarrow{u} Y \to Z \to X[1]$ が存在する。
• TR2. (a) 完全三角形の回転は完全である。(b) 逆に、回転が完全な三角形は完全である。
• TR3. 完全三角形 $(X, Y, Z, u, v, w)$、$(X', Y', Z', u', v', w')$ と射 $a\colon X \to X'$、$b\colon Y \to Y'$ が $b u = u' a$ を満たせば、$(a, b, c)$ が三角形の射になる $c\colon Z \to Z'$ が存在する。

TR4（八面体公理）. 射 $u\colon X \to Y$、$v\colon Y \to Z$ と完全三角形

が与えられたとき、射 $\alpha\colon C_u \to C_{vu}$、$\beta\colon C_{vu} \to C_v$ で、$(1_X, v, \alpha)$ と $(u, 1_Z, \beta)$ が三角形の射であり、かつ

が完全三角形であるものが存在する。

TR1〜TR3 だけを満たす（TR4 を課さない）ものを前三角圏と呼ぶことがある。