モナド・余モナド

圏 $\mathcal{C}$ 上のモナドとは、関手 $T : \mathcal{C} \to \mathcal{C}$ と自然変換 $\mu : TT \Rightarrow T$（乗法）、$\eta : \mathrm{Id}_{\mathcal{C}} \Rightarrow T$（単位）の組 $(T, \mu, \eta)$ で、

を満たすものをいう（成分で書けば $\mu_X \circ T(\mu_X) = \mu_X \circ \mu_{TX}$、$\mu_X \circ T(\eta_X) = \mathrm{id}_{TX} = \mu_X \circ \eta_{TX}$）。双対的に、関手 $G$ と自然変換 $\delta : G \Rightarrow GG$、$\varepsilon : G \Rightarrow \mathrm{Id}$ で $G\delta \circ \delta = \delta G \circ \delta$、$\varepsilon G \circ \delta = \mathrm{id}_G = G\varepsilon \circ \delta$ を満たすものを余モナドという。