積・等化子・引き戻しとその双対

次の形の図式の極限・余極限に名前を付ける。

1. $J$ が離散圏（恒等射しかない圏）$I$ のとき、図式は対象の族 $(X_i)_{i \in I}$ で、極限を積 $\prod_i X_i$（射影 $p_i$）、余極限を余積 $\coprod_i X_i$（入射 $\iota_i$）という。$I = \varnothing$ のときの極限は終対象、余極限は始対象である。
2. $J = \{0 \rightrightarrows 1\}$（平行な 2 本の射）のとき、図式は平行な射 $f, g : X \to Y$ で、極限 $e : E \to X$ を $f, g$ の等化子、余極限 $q : Y \to Q$ を余等化子という。極限の錐は $e$ で決まり（$1$ への成分は $fe = ge$）、条件は「$fu = gu$ を満たす任意の $u$ が $e$ をただ一通りに経由する」ことである。
3. $J = \{0 \to 2 \leftarrow 1\}$ のとき、図式は $f : X \to Z$、$g : Y \to Z$ で、極限 $X \times_Z Y$（射影 $p_1, p_2$、$fp_1 = gp_2$）を引き戻し（ファイバー積）という。双対の $J = \{0 \leftarrow 2 \to 1\}$ の余極限 $X \sqcup_Z Y$ を押し出しという。$f$ を $f$ 自身に沿って引き戻した $X \times_Y X$ とその二つの射影を $f$ の核対という。