線積分

$\boldsymbol F:U\to\mathbb{R}^3$ を連続なベクトル場、$\gamma:[a,b]\to U$ を区分的 $C^1$ 級曲線とします。

を $\boldsymbol F$ の $\gamma$ に沿った線積分といいます（分点ごとに分けて足す）。連続なスカラー場 $f$ に対しては、弧長に関する線積分を $\int_\gamma f\,ds=\int_a^bf(\gamma(t))\,\|\gamma'(t)\|\,dt$ で定義します。$f=1$ とすれば曲線の長さです。