勾配・発散・回転

定義 3.4（「ベクトル解析と積分定理」§3）

$C^1$ 級のスカラー場 $\varphi$ とベクトル場 $\boldsymbol F$ に対し、

\nabla\varphi=\mathrm{grad}\,\varphi=(\partial_1\varphi,\partial_2\varphi,\partial_3\varphi),\qquad \nabla\cdot\boldsymbol F=\mathrm{div}\,\boldsymbol F=\partial_1F_1+\partial_2F_2+\partial_3F_3,

\nabla\times\boldsymbol F=\mathrm{rot}\,\boldsymbol F=(\partial_2F_3-\partial_3F_2,\ \partial_3F_1-\partial_1F_3,\ \partial_1F_2-\partial_2F_1)

と定めます。成分で書けば $(\mathrm{rot}\,\boldsymbol F)_i=\varepsilon_{ijk}\partial_jF_k$ です。

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。