ヘッセ行列・臨界点・極値

$f$ を $U$ 上 $C^2$ 級とします。上の行列 $H_f(\boldsymbol a)$ を $\boldsymbol a$ におけるヘッセ行列と呼びます。また $\nabla f(\boldsymbol a) = \boldsymbol 0$ を満たす点 $\boldsymbol a$ を 臨界点（停留点）と呼びます。

$f$ が $\boldsymbol a$ で極大であるとは、ある $\delta>0$ が存在して $\boldsymbol x \in B(\boldsymbol a,\delta)$ ならば $f(\boldsymbol x) \le f(\boldsymbol a)$ となることをいいます（不等号を逆にすれば極小）。$\boldsymbol x \ne \boldsymbol a$ で不等号が真に成り立つときは狭義の極大・極小といいます。極大でも極小でもない臨界点を鞍点と呼びます。