微分可能性と一次近似

$I$ を開区間、$f \colon I \to \mathbb{R}$、$a \in I$、$A \in \mathbb{R}$ とします。次の 2 条件は同値です。

(i) $f$ は $a$ で微分可能で、$f'(a) = A$ である。

(ii) $r(h) := f(a+h) - f(a) - Ah$ とおくと $r(h) = o(h) \ (h \to 0)$ である。すなわち $f(a+h) = f(a) + Ah + o(h)$ と書ける。

さらに、条件 (ii) を満たす実数 $A$ は存在すれば一意です。