Newton 多角形

$f = \sum_{i=0}^na_iX^i \in K[X]$、$a_0a_n \ne 0$ とする。実数 $s$ に対し

とおき、この最小値を与える添字 $i$ の最小のものを $i_{-}(s)$、最大のものを $i_{+}(s)$ と書く。平面上の点 $P_i = (i, v(a_i))$（$a_i \ne 0$）の下側の凸包の境界を $f$ の Newton 多角形という。$i_{-}(s) < i_{+}(s)$ のとき、$P_{i_{-}(s)}$ と $P_{i_{+}(s)}$ を結ぶ線分は Newton 多角形の傾き $-s$ の辺で、$\ell_f(s) := i_{+}(s) - i_{-}(s)$ をその（水平方向の）長さという。傾き $-s$ の辺がないときは $\ell_f(s) = 0$ である。