Hilbert 記号

$F$ を $\mathbb{Q}_p$（$p$ は素数）または $\mathbb{R}$ とし、$a, b \in F^{\times}$ とする。方程式 $z^2 = ax^2 + by^2$ が $(x, y, z) \ne (0, 0, 0)$ となる解を $F$ にもつとき $(a, b)_F := 1$、もたないとき $(a, b)_F := -1$ と定める。$F = \mathbb{Q}_p$ のとき $(a, b)_p$、$F = \mathbb{R}$ のとき $(a, b)_\infty$ と書く。