完備付値体と完備化

付値体 $(K, |\cdot|)$ が距離 $|x - y|$ に関して完備（定義 2.2［距離空間］）であるとき、完備付値体という。付値体 $(K, |\cdot|)$ の完備化とは、完備付値体 $(\widehat K, |\cdot|)$ と体の準同型 $\iota \colon K \to \widehat K$ の組で、$|\iota(x)| = |x|$ を満たし、$\iota(K)$ が $\widehat K$ で稠密なものをいう。