モジュラス・射線類群・合同部分群

$K$ のモジュラスとは、$0$ でない整イデアル $\mathfrak{m}_0$ と実素点の集合 $\mathfrak{m}_\infty$ の組 $\mathfrak{m} = \mathfrak{m}_0\mathfrak{m}_\infty$ である。$\mathfrak{m}_0 = \prod_{\mathfrak{p}}\mathfrak{p}^{m_{\mathfrak{p}}}$ と書く。素点 $v$ が $\mathfrak{m}$ を割る（$v \mid \mathfrak{m}$）とは、$v = \mathfrak{p}$ で $m_{\mathfrak{p}} \ge 1$、または $v \in \mathfrak{m}_\infty$ であることをいう。

• $I^{\mathfrak{m}}$：$\mathfrak{m}_0$ と互いに素な分数イデアル（$\mathfrak{p} \mid \mathfrak{m}_0$ で $v_{\mathfrak{p}} = 0$ のもの）の群。
• $K_{\mathfrak{m},1}$：$\mathfrak{p} \mid \mathfrak{m}_0$ で $v_{\mathfrak{p}}(x - 1) \ge m_{\mathfrak{p}}$、$v \in \mathfrak{m}_\infty$ で $\rho_v(x) \gt 0$ を満たす $x \in K^{\times}$ の群。この条件を $x \equiv 1 \bmod^{\times}\mathfrak{m}$ と書く。
• $P_{\mathfrak{m}} := \{x\mathcal{O}_K \mid x \in K_{\mathfrak{m},1}\} \subseteq I^{\mathfrak{m}}$（射線）。
• $\mathrm{Cl}_{\mathfrak{m}}(K) := I^{\mathfrak{m}}/P_{\mathfrak{m}}$（$\mathfrak{m}$ を法とする射線類群）。
• $P_{\mathfrak{m}} \subseteq H \subseteq I^{\mathfrak{m}}$ を満たす部分群 $H$ を、$\mathfrak{m}$ を法とする合同部分群という。

イデールの側では、$U_{\mathfrak{m},v}$ を、$v = \mathfrak{p} \mid \mathfrak{m}_0$ で $U_v^{(m_{\mathfrak{p}})} = 1 + \pi_v^{m_{\mathfrak{p}}}\mathcal{O}_v$、$\mathfrak{m}_0$ を割らない有限素点で $\mathcal{O}_v^{\times}$、$v \in \mathfrak{m}_\infty$ で $\mathbb{R}_{\gt 0}$、それ以外の無限素点で $K_v^{\times}$ と定め、

とおく。