因子の次数・$l(D)$

曲線 $X$ の因子は、閉点の有限な形式和 $D = \sum_P n_P P$（$n_P \in \mathbb{Z}$）である。$X$ は非特異なので、これは Weil 因子であり Cartier 因子でもある（定理 4.2［因子と直線束］）。

1. $\deg D = \sum_P n_P$ を $D$ の次数という。すべての $n_P \ge 0$ のとき $D$ は有効であるといい、$D \ge 0$ と書く。
2. $h \in K(X)^{\times}$ の因子は $\operatorname{div}(h) = \sum_P v_P(h) P$ である。$D - D' = \operatorname{div}(h)$ となる $h$ があるとき $D \sim D'$（線形同値）と書く。
3. $\mathcal{O}_X(D)$ は、開集合 $U$ に $\{ h \in K(X)^{\times} : v_P(h) \ge -n_P\ (P \in U) \} \cup \{0\}$ を対応させる可逆層である。点 $P$ での茎は $t_P^{-n_P}\mathcal{O}_P$ である。
4. $L(D) = H^0(X, \mathcal{O}_X(D)) = \{ h \in K(X)^{\times} : \operatorname{div}(h) + D \ge 0 \} \cup \{0\}$、$l(D) = \dim_k L(D)$ とおく。$D$ と線形同値な有効因子の全体を $|D|$ と書き、完備線形系という。