素因子・Weil 因子・有理関数の因子

$X$ は (＊) を満たすとする。

1. 余次元 $1$ の既約な閉集合 $Y \subseteq X$（被約な閉部分スキームと見る）を素因子という。素因子の生成する自由アーベル群 $\operatorname{Div} X$ の元 $D = \sum_Y n_Y Y$（有限和）を Weil 因子という。すべての $n_Y \ge 0$ のとき $D$ は有効であるといい $D \ge 0$ と書く。
2. 素因子 $Y$ について、$\mathcal O_{X,\eta_Y}$ は商体 $K$ の離散付値環で、その付値を $v_Y\colon K^\times \to \mathbb Z$ と書く。$f \in K^\times$ に対し $\operatorname{div}(f) = \sum_Y v_Y(f)\,Y$ を $f$ の因子という（有限和であることは 命題 3.2）。$\operatorname{div}(f)$ の形の因子を主因子という。
3. $D - D'$ が主因子のとき $D$ と $D'$ は線形同値であるといい $D \sim D'$ と書く。$\operatorname{Cl} X = \operatorname{Div} X/\{\text{主因子}\}$ を因子類群という。