Cartier 因子

$X$ を整スキームとする。商層 $\mathcal K^*/\mathcal O_X^*$ の大域切断を Cartier 因子という。すなわち Cartier 因子 $D$ は、開被覆 $(U_i)$ と $f_i \in K^\times$ の組 $\{(U_i, f_i)\}$ で、$U_i \cap U_j$ の上で $f_i/f_j \in \mathcal O_X^*(U_i \cap U_j)$ となるもので表される（$f_i$ を $D$ の局所方程式という）。二つの組が同じ因子を表すのは、共通の細分の上で局所方程式の比が $\mathcal O_X^*$ の切断になるときである。群の演算は局所方程式の積で、加法的に書く。$f \in K^\times$ の定める因子 $\{(X, f)\}$ を主因子といい、主因子で割った群を $\operatorname{CaCl} X$ と書く。すべての $f_i$ が $\mathcal O_X(U_i)$ に入るように表せるとき $D$ は有効であるという。