環

定義 3.1（「環と体の基礎」§3）

集合 $R$ と二つの二項演算 $+ \colon R \times R \to R$ 、 $\cdot \colon R \times R \to R$ の組 $(R, +, \cdot)$ が次の四条件を満たすとき、 $R$ を環という。

(R1) $(R, +)$ はアーベル群である。その単位元を $0$ （または $0_R$ ）と書き、 $a$ の加法逆元を $-a$ と書く。

(R2) 乗法は結合的である。すなわち任意の $a, b, c \in R$ に対し $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ 。

(R3) 乗法の単位元が存在する。すなわちある $1 \in R$ （または $1_R$ ）が存在して、任意の $a \in R$ に対し $1 \cdot a = a \cdot 1 = a$ 。

(R4) 分配則が成り立つ。すなわち任意の $a, b, c \in R$ に対し

a \cdot (b + c) = a\cdot b + a \cdot c, \qquad (a + b)\cdot c = a\cdot c + b\cdot c .

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。