群の基本性質

$(G,\cdot)$ を群とします。このとき次が成り立ちます。

1. 単位元は一意である。すなわち $e, e'$ がともに (G2) を満たすなら $e = e'$。
2. 各 $a\in G$ に対して (G3) を満たす $b$ は一意である。これを $a^{-1}$ と書く。
3. （消約律）$a, x, y \in G$ について、$ax = ay$ ならば $x = y$ であり、$xa = ya$ ならば $x=y$。
4. すべての $a, b\in G$ に対して $(a^{-1})^{-1} = a$ および $(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}$。