置換と対称群

$X = \{1,2,\ldots,n\}$ のとき $\operatorname{Sym}(X)$ を $n$ 次対称群といい $S_n$ と書きます。その元を置換と呼びます。置換 $\sigma$ は

と書くほか、$i_1 \mapsto i_2 \mapsto \cdots \mapsto i_k \mapsto i_1$ と巡回し、他を動かさない置換を $(i_1\, i_2\, \cdots\, i_k)$ と書きます（巡回置換、長さ $k$）。長さ 2 の巡回置換 $(i\ j)$ を互換といいます。