群の作用

群 $G$ の集合 $X$ への（左）作用とは、写像 $G \times X \to X$, $(g, x) \mapsto g \cdot x$ であって、次を満たすものをいう。

1. すべての $x \in X$ に対し $e \cdot x = x$。
2. すべての $g, h \in G$, $x \in X$ に対し $(gh) \cdot x = g \cdot (h \cdot x)$。

$x \in X$ に対し、$G \cdot x = \{\, g \cdot x : g \in G \,\}$ を $x$ の軌道、$G_x = \{\, g \in G : g \cdot x = x \,\}$ を $x$ の安定化群という。$g \in G$ に対し $X^g = \{\, x \in X : g \cdot x = x \,\}$ を $g$ の固定点集合、$X^G = \{\, x : g \cdot x = x\ (\forall g \in G)\,\}$ を $G$ の固定点集合という。