$G_\delta$ 位相・実コンパクト空間

定義 8.1（「完全正則空間と埋め込み定理」§8）

$X$ を位相空間とする。 $G_\delta$ 集合の全体は有限個の共通部分で閉じる（ $\bigcap_n U_n$ と $\bigcap_m V_m$ の共通部分は $\bigcap_{n,m} (U_n \cap V_m)$ で、これも可算個の開集合の共通部分）。したがって $G_\delta$ 集合の全体は $X$ の開基をなし、 $X$ に位相が定まる。これを $X$ の $G_\delta$ 位相といい、この位相を入れた空間を $X_\delta$ と書く。
Tychonoff 空間 $X$ が実コンパクト（realcompact）であるとは、ある集合 $J$ に対し、 $X$ が $\mathbb{R}^J$ の閉部分空間と同相であることをいう。

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。