位相的連続性と ε-δ 連続性の一致

$(X, d_X)$, $(Y, d_Y)$ を距離空間とし、それぞれに距離位相を入れます。写像 $f : X \to Y$ について、次の 2 条件は同値です。

• (i) $f$ は 定義 3.1 の意味で連続である。すなわち $Y$ の任意の開集合 $V$ に対し $f^{-1}(V)$ は $X$ の開集合である。
• (ii) 任意の $a \in X$ と任意の $\varepsilon > 0$ に対し $\delta > 0$ が存在して、$d_X(x, a) < \delta$ を満たすすべての $x \in X$ について $d_Y(f(x), f(a)) < \varepsilon$ が成り立つ。