道と弧状連結性

$X$ を位相空間、$x, y \in X$ とします。連続写像 $\gamma : [0,1] \to X$ で $\gamma(0) = x$、$\gamma(1) = y$ を満たすものを、$x$ から $y$ への道（path）といいます。ここで $[0,1]$ には $\mathbb{R}$ からの相対位相を入れます。

$X$ の任意の 2 点に対して、一方から他方への道が存在するとき、$X$ は弧状連結（path-connected）であるといいます。部分集合 $A \subseteq X$ が弧状連結であるとは、$A$ が相対位相に関して弧状連結であること、すなわち道の像が $A$ に含まれるように取れることをいいます。