倍精度の一様乱数で届く裾

$U$ を倍精度の一様乱数（定義 2.3）とする。

1. $1 - U$ は $\{k\,2^{-53} : k = 1, \ldots, 2^{53}\}$ に値を取り、$0$ にならない。$X = -\ln(1 - U)$ の取る値は $[0,\ 53\ln 2]$ に含まれ、最大値 $53\ln 2 = 36.7368\cdots$ は $U = 1 - 2^{-53}$ のとき取られる。一方 $-\ln U$ は $U = 0$（確率 $2^{-53}$）で定義されない。
2. 標準正規分布の分布関数を $\Phi$ とする。$U \ne 0$ のとき $X = \Phi^{-1}(U)$ の取る値は $[-z^*, z^*]$ に含まれる。ここで $z^* > 0$ は $\Phi(-z^*) = 2^{-53}$ の解で、$z^* = 8.2095\cdots$ である。
3. したがって、これらの方法で作った標本では、事象 $\{X > 53\ln 2\}$（指数分布）、$\{|X| > z^*\}$（正規分布。$U = 0$ の場合を除く）は決して起きない。真の分布でのこれらの確率は、それぞれ $2^{-53}$、$2^{-52}$ である。