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カップリングの不等式

定理 7.2（「Markov 連鎖 Monte Carlo」§7）・ ✓公理まで証明済み

$K$ を $P$ のカップリング、 $(X_t, Y_t)$ を $(x, y)$ から出発する $K$ の連鎖とする。

$(X_t)$ は $x$ から出発する遷移行列 $P$ の Markov 連鎖、 $(Y_t)$ は $y$ から出発する遷移行列 $P$ の Markov 連鎖である。
すべての $t \ge 0$ で $\|P^t(x, \cdot) - P^t(y, \cdot)\|_{\mathrm{TV}} \le \mathbb{P}_{(x,y)}(\tau > t)$ 。
$P$ が定常分布 $\pi$ をもつとき、 $d(t) \le \max_{x,y}\mathbb{P}_{(x,y)}(\tau > t)$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 1 件、定義なども含めて 2 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

遷移行列と Markov 連鎖定義 2.1・Markov 連鎖と Poisson 過程
全変動距離の基本性質✓補題 4.2・Markov 連鎖 Monte Carlo

これを使っている定理証明で参照している 1 件

超立方体上の怠惰なランダムウォークの混合時間✓命題 7.3・Markov 連鎖 Monte Carlo