数学 › 解析学（実解析） › 関数列と一様収束

各点収束

定義 3.1（「関数列と一様収束」§3）

fn ⁣:E→Rf_n \colon E \to \mathbb{R}（n∈Nn \in \mathbb{N}）と f ⁣:E→Rf \colon E \to \mathbb{R} について

∀x∈E, ∀ε>0, ∃N∈N, ∀n≥N,∣fn(x)−f(x)∣<ε\forall x \in E,\ \forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall n \ge N, \quad |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon

が成り立つとき、(fn)(f_n) は EE 上 ff に各点収束するといい、fn→ff_n \to f と書く。これは「各 x∈Ex \in E を固定するごとに、実数列 (fn(x))n(f_n(x))_{n} が f(x)f(x) に収束する」ことにほかならない。

本文で読む（前後の説明と例）→

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。