非負単関数の積分

定義 4.1（「ルベーグ積分の定義と収束定理」§4）

$s : X \to [0,\infty)$ を非負単関数とし、その標準表示を $s = \sum_{k=1}^{N} a_k \mathbf{1}_{A_k}$ （ $a_k$ は相異なる値、 $A_k = s^{-1}(a_k)$ ）とする。 $s$ の $\mu$ に関する積分を

\int_X s \, d\mu = \sum_{k=1}^{N} a_k\, \mu(A_k) \in [0, \infty]

で定める。ここで $0 \cdot \infty = 0$ の規約を用いる。また可測集合 $E \in \mathcal{M}$ に対し $\int_E s\,d\mu = \int_X s\,\mathbf{1}_E \, d\mu$ とおく。

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。