可積分関数と積分

定義 7.1（「ルベーグ積分の定義と収束定理」§7）

$f : X \to \overline{\mathbb{R}}$ を可測関数とする。

\int_X |f|\,d\mu < \infty

が成り立つとき $f$ は $\mu$ -可積分であるといい、 $f \in L^1(\mu)$ と書く。このとき $\int f^{+}d\mu$ と $\int f^{-}d\mu$ はいずれも有限なので、

\int_X f\,d\mu = \int_X f^{+}\,d\mu - \int_X f^{-}\,d\mu \in \mathbb{R}

と定める。また $\|f\|_1 = \int_X |f|\,d\mu$ とおく。

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。