数学 › 解析学（実解析） › 凸解析

共役関数の基本性質

命題 5.2（「凸解析」§5） ・ ✓公理まで証明済み

ff を真な関数とする。

  1. f∗f^{*} は凸かつ下半連続である（値 +∞+\infty を取り得る）。
  2. （Fenchel–Young の不等式）すべての x,yx,y で f(x)+f∗(y)≥⟨x,y⟩f(x)+f^{*}(y)\ge\langle x,y\rangle。
  3. ff が凸なら、x∈dom⁡fx\in\operatorname{dom}f について、等号 f(x)+f∗(y)=⟨x,y⟩f(x)+f^{*}(y)=\langle x,y\rangle と y∈∂f(x)y\in\partial f(x) は同値である。
  4. f∗∗≤ff^{**}\le f。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 1 件、定義なども含めて 1 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

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