劣勾配・劣微分

定義 4.1（「凸解析」§4）

$f:\mathbb{R}^n\to(-\infty,\infty]$ を凸関数、 $x\in\operatorname{dom}f$ とする。 $s\in\mathbb{R}^n$ が $x$ における $f$ の劣勾配であるとは、

f(z)\ge f(x)+\langle s,z-x\rangle\qquad(z\in\mathbb{R}^n)

となることをいう。劣勾配全体を $\partial f(x)$ と書き、劣微分という。

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。