凸集合・凸関数

• $C\subseteq\mathbb{R}^n$ が凸であるとは、$x,y\in C$、$0\le\lambda\le1$ について $(1-\lambda)x+\lambda y\in C$ となることをいう。
• $f:\mathbb{R}^n\to(-\infty,\infty]$ が凸であるとは、$x,y\in\mathbb{R}^n$、$0\le\lambda\le1$ について

となることをいう（$\infty$ を含む演算は $0\cdot\infty=0$、$a+\infty=\infty$ と約束する）。

• $\operatorname{dom}f=\{x:f(x)<\infty\}$ を有効定義域、$\operatorname{epi}f=\{(x,t)\in\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}: f(x)\le t\}$ をエピグラフという。$\operatorname{dom}f\ne\emptyset$ のとき $f$ は真であるという。
• $f$ が下半連続であるとは、すべての $x$ と $x_k\to x$ について $f(x)\le\liminf_kf(x_k)$ となることをいう。