同程度連続・一様有界

$K$ をコンパクト距離空間とし、$\mathcal{F} \subset C(K)$ とする。

• $\mathcal{F}$ が一様有界であるとは、ある $M$ があって、すべての $f \in \mathcal{F}$ で $\|f\| \le M$ となることをいう。
• $\mathcal{F}$ が同程度連続（equicontinuous）であるとは、任意の $\varepsilon > 0$ に対して、$\delta > 0$ が存在して、すべての $f \in \mathcal{F}$ と、$d(x, y) < \delta$ なるすべての $x, y \in K$ に対して $|f(x) - f(y)| < \varepsilon$ となることをいう。