外測度と Carathéodory 可測性

$X$ 上の外測度とは、写像 $\mu^{*} : 2^{X} \to [0, \infty]$ で、(1) $\mu^{*}(\emptyset) = 0$、(2) $A \subset B$ ならば $\mu^{*}(A) \le \mu^{*}(B)$、(3) $\mu^{*}\bigl(\bigcup_n A_n\bigr) \le \sum_n \mu^{*}(A_n)$、を満たすものをいう。部分集合 $E \subset X$ が $\mu^{*}$-可測（Carathéodory の条件を満たす）であるとは、すべての $A \subset X$ に対して

が成り立つことをいう。$\mu^{*}$-可測集合全体を $\mathcal{M}(\mu^{*})$ と書く。