測度・前測度

$\mathcal{A}$ を σ-加法族とする。写像 $\mu : \mathcal{A} \to [0, \infty]$ が測度であるとは、$\mu(\emptyset) = 0$ かつ、互いに素な $E_1, E_2, \ldots \in \mathcal{A}$ に対して $\mu\bigl(\bigsqcup_n E_n\bigr) = \sum_n \mu(E_n)$ を満たすことをいう（可算加法性）。組 $(X, \mathcal{A}, \mu)$ を測度空間という。

$\mathcal{A}$ が代数にすぎないときは、写像 $\mu_0 : \mathcal{A} \to [0, \infty]$ が $\mu_0(\emptyset) = 0$ と次の性質を満たすとき前測度（premeasure）という：互いに素な $E_1, E_2, \ldots \in \mathcal{A}$ で $\bigsqcup_n E_n \in \mathcal{A}$ となるものについて $\mu_0\bigl(\bigsqcup_n E_n\bigr) = \sum_n \mu_0(E_n)$。

測度 $\mu$ が $\sigma$-有限であるとは、$X = \bigcup_n X_n$ かつ $\mu(X_n) < \infty$ となる $X_n \in \mathcal{A}$ が存在することをいう。前測度についても同様に定める。