数学 › 解析学（実解析） › 測度空間と Carathéodory の拡張定理

Hausdorff 測度と Hausdorff 次元

定義 3.6（「測度空間と Carathéodory の拡張定理」§3）

s≥0s\ge0、0<δ≤∞0<\delta\le\infty、A⊂XA\subset X に対し

Hδs(A)=inf⁡{∑j(diam⁡Cj)s: A⊂⋃j=1∞Cj, diam⁡Cj<δ}\mathcal{H}^s_\delta(A)=\inf\Bigl\{\sum_{j}(\operatorname{diam}C_j)^s:\ A\subset\bigcup_{j=1}^{\infty}C_j,\ \operatorname{diam}C_j<\delta\Bigr\}

と置く（diam⁡∅ s=0\operatorname{diam}\emptyset^{\,s}=0 とし、s=0s=0 では空でない CC について (diam⁡C)0=1(\operatorname{diam}C)^0=1 とする）。δ\delta を小さくすると被覆の候補が減るので Hδs(A)\mathcal{H}^s_\delta(A) は δ\delta について単調減少で、

Hs(A)=lim⁡δ↓0Hδs(A)=sup⁡δ>0Hδs(A)\mathcal{H}^s(A)=\lim_{\delta\downarrow0}\mathcal{H}^s_\delta(A)=\sup_{\delta>0}\mathcal{H}^s_\delta(A)

を AA の ss 次元 Hausdorff 測度という。また dim⁡HA=inf⁡{s≥0:Hs(A)=0}\dim_HA=\inf\{s\ge0:\mathcal{H}^s(A)=0\} を AA の Hausdorff 次元という。

本文で読む（前後の説明と例）→

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。