代数と σ-加法族

$X$ の部分集合族 $\mathcal{A} \subset 2^{X}$ が代数（有限加法族）であるとは、(1) $X \in \mathcal{A}$、(2) $A \in \mathcal{A}$ ならば $A^{c} \in \mathcal{A}$、(3) $A, B \in \mathcal{A}$ ならば $A \cup B \in \mathcal{A}$、を満たすことをいう。(3) を可算和へ強めて「$A_1, A_2, \ldots \in \mathcal{A}$ ならば $\bigcup_n A_n \in \mathcal{A}$」としたものを σ-加法族という（定義の詳細は 確率空間とコルモゴロフの公理 の 定義 3.1［確率空間とコルモゴロフの公理］ にもある）。族 $\mathcal{E} \subset 2^X$ を含む最小の σ-加法族を $\sigma(\mathcal{E})$ と書き、$\mathcal{E}$ で生成される σ-加法族という（存在は 命題 3.4［確率空間とコルモゴロフの公理］）。$\mathbb{R}$ の開集合全体で生成される σ-加法族をボレル集合族 $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ という。