物理学 › 量子力学 II › 時間の観測量

しきい値によるべき則の尾

定理 5.2（「時間の観測量」§5） ・ ✓公理まで証明済み

n≥0n\ge0 を整数、Eth∈RE_{\mathrm{th}}\in\mathbb{R} とし、単位ベクトル φ\varphi のスペクトル測度が密度 ρ\rho をもち、ρ(E)=0\rho(E)=0（E<EthE\lt E_{\mathrm{th}}）、ρ(Eth+λ)=λnh(λ)\rho(E_{\mathrm{th}}+\lambda)=\lambda^n h(\lambda)（λ≥0\lambda\ge0）と書けるとする。ここで h∈Cn+2([0,∞))h\in C^{n+2}([0,\infty)) とし、G(λ)=λnh(λ)G(\lambda)=\lambda^nh(\lambda) の jj 階導関数（0≤j≤n+20\le j\le n+2）はすべて [0,∞)[0,\infty) で可積分で、λ→∞\lambda\to\infty で 00 に収束するとする。このとき t≠0t\ne0 について

⟨φ,e−itH/ℏφ⟩=e−iEtht/ℏ[ n! h(0)(ℏit)n+1+R(t)],∣R(t)∣≤(ℏ∣t∣)n+2(∣G(n+1)(0)∣+∫0∞∣G(n+2)∣ dλ).\langle\varphi,e^{-itH/\hbar}\varphi\rangle=e^{-iE_{\mathrm{th}}t/\hbar}\Bigl[\,n!\,h(0)\Bigl(\frac{\hbar}{it}\Bigr)^{n+1}+R(t)\Bigr],\qquad |R(t)|\le\Bigl(\frac{\hbar}{|t|}\Bigr)^{n+2}\Bigl(|G^{(n+1)}(0)|+\int_0^\infty|G^{(n+2)}|\,d\lambda\Bigr).

とくに h(0)≠0h(0)\ne0 なら、生存確率は t→∞t\to\infty で P(t)=(n! h(0))2(ℏ/t)2(n+1)(1+O(1/t))P(t)=\bigl(n!\,h(0)\bigr)^2(\hbar/t)^{2(n+1)}\bigl(1+O(1/t)\bigr) となり、どんな γ>0\gamma\gt0 についても e−γte^{-\gamma t} より遅く減る。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。