物理学 › 量子力学 II › 時間の観測量

ガンマ分布の密度：全時間でべき則

命題 5.3（「時間の観測量」§5） ・ ✓公理まで証明済み

β>−1\beta\gt-1、Λ>0\Lambda\gt0 とし、スペクトル測度の密度が ρ(E)=Eβe−E/ΛΓ(β+1)Λβ+1\rho(E)=\dfrac{E^\beta e^{-E/\Lambda}}{\Gamma(\beta+1)\Lambda^{\beta+1}}（E>0E\gt0、E≤0E\le0 では 00）であるとする。ここで Γ(β+1)=∫0∞xβe−xdx\Gamma(\beta+1)=\int_0^\infty x^\beta e^{-x}dx はガンマ関数である。このとき

⟨φ,e−itH/ℏφ⟩=(1+iΛtℏ)−(β+1),P(t)=(1+Λ2t2ℏ2)−(β+1)\langle\varphi,e^{-itH/\hbar}\varphi\rangle=\Bigl(1+\frac{i\Lambda t}{\hbar}\Bigr)^{-(\beta+1)},\qquad P(t)=\Bigl(1+\frac{\Lambda^2t^2}{\hbar^2}\Bigr)^{-(\beta+1)}

が成り立つ（べきは主値。1+iΛt/ℏ1+i\Lambda t/\hbar は右半平面にある）。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。