グラフの記号とユークリッドのファインマン積分

$G$ を有限な連結グラフ（多重辺と自己ループを許す）とし、頂点の集合を $V$、内線の集合を $E$（$|E|=I$、各辺に向きを固定）とする。

1. 辺の部分集合 $S\subset E$ について、全頂点と $S$ からなるグラフ $(V,S)$ の連結成分の個数を $c(S)$ とし、$L(S)=|S|-|V|+c(S)$（ループ数）、$\omega(S)=dL(S)-2|S|$ と置く。$L=L(E)=I-|V|+1$ で、$\omega(E)$ は 定義 5.1 の $D(G)$ である。
2. $S\ne\emptyset$ で、$S$ の辺とその端点からなるグラフが連結で、どの 1 辺を除いても連結なままであるとき、$S$ を 1PI 部分グラフという。
3. 各頂点 $v$ に外運動量 $p_v\in\mathbb{R}^d$（$\sum_vp_v=0$）を与える。$q=(q_e)_{e\in E}\in(\mathbb{R}^d)^E$ が各頂点で保存則 $\sum_e\varepsilon_{ve}q_e=p_v$ を満たすとき許容という。ここで $\varepsilon_{ve}$ は、$e$ が $v$ から出て他の頂点に入るなら $+1$、他の頂点から $v$ に入るなら $-1$、それ以外（自己ループを含む）は $0$ である。
4. 全域木 $T_0$ を固定し、$T_0$ に属さない辺（弦）を $e_1,\dots,e_L$ とする。$m>0$ に対し

をユークリッドのファインマン積分という。$q$ は $q_{e_l}=k_l$ を満たす許容な割り当てである（次の補題）。